[Signals and Systems]미분방정식과 차분방정식의 일반해 정리

기본적으로 미분방정식은 연속, 차분방정식은 불연속일 때 이다

두 방정식 모두 해는 다음과 같은 형태를 띈다.

 

y(t) = yh(t) + yp(t) - constant

y[t] = yh[t] + yp[t] - discrete

(yh는 homogeneous, ypt는 particular)

 

homogeneous와 particular solution을 각각 구한 후 더해주면 해가 완성된다 !

 

 

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1. 미분방정식(Linear, Constant-coefficient, ordinary differential equation)

 

(1) homogeneous : Ce^-at의 형태에서 a를 구한다

a는 주어진 방정식에서 구하면 된다 (노트참고)

 

y'(t)=S, y(t)=1로 치환해준다고 쉽게 생각하면 될 듯. (a랑 S랑 같은 거..)

이렇게 정리해도 되나..모르겠는데 나는 문제풀 때 이렇게 하면 다 맞아서..

혹시 이상한 곳 있으면 알려주세요 ㅋㅋㅋㅋ

 

(2) particular : 주어진 input(즉 x(t))에 따라서 출력값이 달라지는데, 이건 외워야된다...흑..

노트 첫번째 오른쪽 하단에 노트를 참고하면 될 듯!

 

initial condition을 이용해서 방정식을 1개 혹은 2개를 만든 후 연립해 풀어주면 끝!

 

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 2. 차분방정식(Linear, Constant-coefficient, difference equation)

 

(1) homogeneous : y[n-k]를 z^-k로 치환 후 인수분해 과정을 거치면 된다 !

+)주의해야 할 게, 차분방정식은 -있는 그대로 들어간다는 거

y[n-2]는 z^-2라고 치환된다는 것!

 

(2) particular : 미분방정식과 마찬가지로 input에 따른 solution들을 아래 표에 정리해놓았다.

initial condition을 이용해 주어진 미지수들을 구해주면 된다 :-)