[Signals and Systems]푸리에급수의 특성들 정리/선형성,shifting,conjugate,scaling,파시발 정리 등등..

푸리에급수 그리고 푸리에변환은 신호처리에서 큰 부분을 차지하는데,

우선 오늘은 푸리에급수 정리.

아니 작년 이맘때쯤 강의 들었는데 이번에 교수님이 설명해주실 때 들으니까

또 새로운 기분은 뭘까..

 

우선 강의노트 왼쪽에 별표시 되어있는 게 요약한 거다.

coswt와 sinwt를 바꾸는 방법에 대해서는 당연히 알아야 하는 것이고

(알아야 하는데 자꾸 둘이 바꿔서 생각하게 됨 왜인지는 모름)

 

아래 식은 x(t) 즉 푸리에급수와 ak 즉 푸리에계수에 대한 설명 !

 

푸리에급수(Fourier Series)는 주기신호를 다루는 것이다.

반대로 푸리에변환(Fourier Transform)은 비주기신호를 다루는 것.

 

 

사실 아래에서 설명할 것들은 푸리에 급수와 푸리에계수의 공식들에 하나하나 대입하면 나오긴 하는데

일단 정리해놓고 모를때마다 보러와야겠음

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푸리에 급수의 이것저것 특징들

 

1. 선형성

LTI system에서도 다뤘던 것처럼, 푸리에급수에서도 선형성이 적용된다는 것.

 

2. Time-shifting

x(t)에서 x(t-a)로 신호가 이동되었다고 한다면,

푸리에계수도 그만큼 이동했기 때문에 위상이 shift된다는 것.

중요한 것은 위상이 shift된다는 사실을 잊으면 안 됨!

 

3. Time-reversal(시간 뒤집기)

시간이 뒤집히면 푸리에계수도 뒤집힌다는 것.

쉽게 말하면 t자리에 -t 대입해서 정리하면 됨

4. Time-scaling

시간을 n배 늘리거나 줄이는 것을 의미하는데,

시간이 배율되는만큼 frequency가 바뀐다는 것을 잊으면 안 됨

즉 푸리에계수에는 아무런 영향을 주지 않는다는 것.

shift와 scale은 완전히 다르게 접근해야 한다는 점 잊지말기~

 

5. Multiplication(곱셈)

시간에서의 곱셈은 주파수 영역에서는 convolution

시간에서의 convolution은 주파수 영역에서의 곱셈이라고 생각하면 딱 정리됨

자세한 건 강의노트에 증명 참고

 

6. Conjugate (허수부분의 켤레..??)

이건 그닥 어려운 개념은 아니니까..

신호를 conjugate시키면 푸리에급수에서 exponent에 -가 생긴다는 것

그리고 신호가 실수라면 conjugate값은 처음값과 동일하다는 것

 

7. Parseual's Relation(파시발 정리)

앞에서 Power와 Energy에 대해서 정리..를 했었나 기억이 안나네..

쨋든 Time과 Frequency 사이의 관계를 정리한 것이 바로 파시발 정리

 

강의노트에 적힌 게 그 정리고, 아래는 증명 >_<